روش های ریاضی عددی کنترل بهینه برای برخی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی مرتبه بالا

سیستم های در مقیاس میکرو-نانو متر رفتارهای پیچیده ای دارند و بسیار متفاوت با سیستم های با بعد ماکرو هستند. به همین دلیل بر خلاف سیستم های با بعد ماکرو، تحقیقات اندکی در مورد سیستم های با بعد کوچک صورت گرفته است. این رساله به بررسی کنترل پذیری انتقال حرارت در مقیاس میکرو-نانو متر و طراحی کنترل کننده هایی برای یک میکرو شناگر مصنوعی در سیالی با عدد ینولدز کوچک پرداخته است. در ادامه به بررسی این دو فرایند و نتایج به دست آمده در این رساله می پردازیم. دانشمندان قادر به ساخت شناورهای مصنوعی در مقیاس میکرو شده اند. از دید گاه علم پزشکی، کنترل این شناور امری بسیار مهم و پر اهمیت است. در فصول 4 و 5 این رساله به بررسی کنترل پذیری و طراحی کنترل بهین حرکت شناور پرداخته ایم. حرکت میکرو شناگر در سیالی با عدد رینولدز کوچک توسط معادله ابر پخش مورد بررسی قرار می گیرد. ثابت کرده ایم که میکرو شناگری با شرایط مرزی مفصلی با اعمال تنها یک نیروی کنترلی در یک طرف رشته الاستیکی، کنترل پذیر است. پس از اثبات کنترل پذیری، روشی برای محاسبه تابع کنترل بهینه ارایه گردید. در روش ذکر شده، فضای موقعیت ها توسط بسط فوریه سینوسی به طور پیوسته ارایه گردیده است در حالی که بازه زمان را گسسته سازی کرده و در هر زیر بازه زمان، مقدار بهین تابع کنترل را به دست آورده شده است. مساله کنترل بهین معادله ابر پخش با شرایط مرزی گشتاوری نیز مورد بررسی قرار گرفته است. برای حل مساله کنترل بهین معادله ابر پخش با شرایط مرزی گشتاوری روشی متفاوت با روش ارایه شده برای شرایط مرزی مفصلی مطرح گردیده است. با مقایسه این دو روش می توان نتیجه گرفت که روند حرکت شناگر مستقل از نیروی وارده در زمان تغییر نیروهای کنترلی است. با ارایه شش مثال عددی کارایی و همگرایی روش ها نشان داده شده است. معادله تاخیر فاز دوگان را برای بررسی انتقال حرارت در یک فیلم نازک در نظر گرفته ایم. برای بررسی کنترل پذیری این معادله از فرمول بندی نیم گروهی استفاده شده است. این فرمول بندی برای معادله تاخیر فاز دوگان تا کنون ارایه نشده بود. جواب تحلیلی معادله تاخیر فاز دوگان را با استفاده از نظریه نیم گروه ها به دست آمده است. پایداری انتقال حرارت در فیلم نازک با استفاده از فرمول بندی نیم گروهی اثبات شده است. علاوه بر این، طیف عملگر معادله تاخیر فاز دوگان به دست آمده است. نشان داده شده است که طیف عملگر این معادله شامل یک بازه است. بنابراین، بر خلاف انتقال حرارت در مقیاس ماکرو، عملگر معادله تاخیر فاز دوگان یک عملگر طیفی نیست. با توجه به طیفی نبودن عملگر معادله، تست های موجود برای بررسی کنترل پذیری را نمی توان استفاده نمود. لذا، نیاز مند روش های جدید برای بررسی کنترل پذیری معادله هستیم. در ادامه با استفاده از لم هاتوس ثابت شده است که انتقال حرارت در مقیاس ماکرو کنترل پذیر دقیق نیست. علاوه بر این، با استفاده از خاصیت مشاهده پذیری سیستم دوگان نشان داده شده است که معادله تاخیر فاز دوگان صفر کنترل پذیر نیست.